15.短絡線路の解

短絡線路の解き方

ここまで見てきた線路条件は、終端開放と無限長の２条件でした。ここではもう一つの重要な解である短絡線路を扱っていきます。

fig.15.1 はその条件を描いたものです。電源条件は電圧 $E_{1}$ 印加で前と同じですが、終端をショートしたことにより終端電流 $J_{2}$ はゼロでなくなりました。

fig15.1 短絡線路（電圧印加）

それに代わる条件は $E_{2} = 0$ です。短絡によって終端は常に 0V へ固定されることになり、開放時の電流 0A 固定と対照的です。次に方程式と条件を再掲します。

\begin{array}{rcl} (9.3) & V (x) & = & V_{1} e^{- α x} + V_{2} e^{α x} \\ (10.4) & Z_{c} I (x) & = & V_{1} e^{- α x} - V_{2} e^{α x} \\ (15.1) & V (0) & = & E_{1} \\ (15.2) & V (l) & = & E_{2} = 0 \end{array}

まず、式(15.1)の条件を式(9.3)に代入して $\begin{matrix} (15.3) & V (0) = E_{1} = V_{1} + V_{2} \end{matrix}$ が成立します。同様に式(15.2)の条件から式(9.3)に代入して $\begin{matrix} (15.4) & V_{1} e^{- α l} + V_{2} e^{α l} = 0 \end{matrix}$

式(15.4)から $V_{1}, V_{2}$ の関係が得られて $\begin{matrix} (15.5) & V_{2} = - V_{1} e^{- 2 α l} \end{matrix}$ これを式(15.4) に代入することで,ようやく電圧積分定数 V1 と入力電圧 E1 の関係を解くことができました。 $\begin{matrix} (15.6) & V_{1} = \frac{E_{1}}{1 - e^{- 2 α l}} \end{matrix}$ さらに、式(15.6) と式(15.5)から電圧積分定数V2も容易に解くことができて、その計算を以下のように進めます。 $\begin{array}{rcl} V_{2} & = & - \frac{E_{1}}{1 - e^{- 2 α l}} e^{- 2 α l} \\ = & - \frac{E_{1}}{e^{- 2 α l} - 1} \\ (15.7) & = & - \frac{E_{1}}{1 - e^{2 α l}} \end{array}$ 以上をまとめて、 $\begin{array}{rcl} (15.6) & V_{1} & = & \frac{E_{1}}{1 - e^{- 2 α l}} \\ (15.7) & V_{2} & = & \frac{E_{1}}{1 - e^{2 α l}} \end{array}$

これで２つの電圧積分定数 V1,V2 を定めることができました。あとは未知数となっている入力電流 J1 と短絡側電流 J2 をそれぞれ求めていくだけです。

短絡側の電流を求める

式(10.4) の電流分布式に電圧積分定数式(15.6) と式(15.7) を代入して計算を進めます。まずは出力電流 $J 2 = I (l)$ を求めましょう

\begin{array}{rcl} J_{2} & = & \frac{1}{Z_{c}} (V_{1} e^{- α l} - V_{2} e^{α l}) \\ = & \frac{1}{Z_{c}} (\frac{E_{1}}{1 - e^{- 2 α l}} e^{- α l} - \frac{E_{1}}{1 - e^{2 α l}} e^{α l}) \\ = & \frac{E_{1}}{Z_{c}} (\frac{e^{- α l}}{1 - e^{- 2 α l}} - \frac{e^{α l}}{1 - e^{2 α l}}) \\ = & \frac{E_{1}}{Z_{c}} (\frac{1}{e^{α l} - e^{- α l}} - \frac{1}{e^{- α l} - e^{α l}}) \\ = & \frac{E_{1}}{Z_{c}} (\frac{1}{e^{α l} - e^{- α l}} + \frac{1}{e^{α l} - e^{- α l}}) \\ = & \frac{E_{1}}{Z_{c}} (\frac{2}{e^{α l} - e^{- α l}}) \\ = & \frac{E_{1}}{Z_{c} \sinh (α l)} \end{array}

ちょっと丁寧な長い計算でしたが、結果だけをまとめて

\begin{matrix} (15.8) & J_{2} = \frac{E_{1}}{Z_{c} \sinh (α l)} \end{matrix}

これが短絡線に流れる出力電流です。またまた双曲線関数ひとつで表現できてますね。

入力電流と入力インピーダンスを求める

入力電流 $J_{1}$ を求めるには、式(10.4) の電流分布式を $x = 0$ とした上で、電圧積分定数（式(15.6),式(15.7)) を代入すれば求まります。

\begin{array}{rcl} J_{1} & = & \frac{1}{Z_{c}} (V_{1} - V_{2}) \\ = & \frac{1}{Z_{c}} (\frac{E_{1}}{1 - e^{- 2 α l}} - \frac{E_{1}}{1 - e^{2 α l}}) \\ = & \frac{E_{1}}{Z_{c}} (\frac{1}{1 - e^{- 2 α l}} - \frac{1}{1 - e^{2 α l}}) \\ = & \frac{E_{1}}{Z_{c}} (\frac{e^{α l}}{e^{α l} - e^{- α l}} - \frac{e^{- α l}}{e^{- α l} - e^{α l}}) \\ = & \frac{E_{1}}{Z_{c}} (\frac{e^{α l} + e^{- α l}}{e^{α l} - e^{- α l}}) \\ = & \frac{E_{1}}{Z_{c} \tanh (α l)} \end{array}

またまた長い計算でしたが、結果をまとめて

\begin{matrix} (15.9) & J_{1} = \frac{E_{1}}{Z_{c} \tanh (α l)} \end{matrix}

面白いことに、こちらの入力電流も双曲線関数になっています。

入力インピーダンス $Z_{1}$ は入力電圧 $E_{1}$ と入力電流 $J_{1}$ の比をとればいいだけですから、 $\begin{matrix} (15.10) & Z_{1} = \frac{E_{1}}{J_{1}} = Z_{c} \tanh (α l) \end{matrix}$ とカンタンに求められます。

ここまでで得られた解は次ページで具体値を見ていきましょう。

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