T型回路の無限分割(1)

T型回路を同一特性で分割する

前ページで、無限ラダー回路の要素(T型回路)の諸特性を計算してみました

Fパラメータによる計算の利点は、同じ回路を繋ぎ合わせるときの計算が簡単であることに尽きます。そこで、同一特性を保ったまま回路を2個に分割するとどうなるのか考えてみましょう。

無限に細かく分割していく分布定数回路の最初の一歩です。

T-type Circuit division
fig5.1 T型回路の分割

まず、T型回路の抵抗RとコンダクタンスGは、伝送量 θk 及び 反復インピーダンスZkを用いて、 \begin{eqnarray} R &=& Z_k \tanh \frac{\theta_k}{2} \tag{5.1} \\ G &=& \frac{\sinh \theta_k }{Z_k} \tag{5.2} \end{eqnarray} と表現することができます。ここで、tanhは双曲線関数(ハイパボリックタンジェント)であって、 \[ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \tag{5.3} \] で定義される関数です。sinh関数は前ページを参照のこと。

このとき、2つの回路の伝送量θkは、2つの回路それぞれの伝送量の和となります。

Cascade Circuit Chara
fig5.2 二分割されたT型回路の伝送量の関係

この関係を利用すると、ちょうど2分割されたときの抵抗R2とコンダクタンスG2は、以下のような式で計算することができます。 \begin{eqnarray} R_2 &=& Z_k \tanh \frac{\theta_k}{4} \tag{5.3} \\ G_2 &=& \frac{\sinh \theta_k / 2}{Z_k} \tag{5.4} \end{eqnarray}

ここで、前ページで扱っていた実例(R=2,G=1/4)を計算してみましょう。先の回路ではちょうど電圧・電流が半分になるという性質から \( \theta_k = \ln 2 \) の関係式がありました。 \( e^{\theta_k} = 2 \) から、Rは \begin{eqnarray} R_2 &=& 3 \times \frac{2^{1/4}-2^{-1/4}}{2^{1/4}+2^{-1/4}} = 3 \times \frac{2^{1/2}-1}{2^{1/2}+1} \\ &=& 3 \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = 3 ( \sqrt{2}-1)^2 \\ &=& 9-6\sqrt{2} = 0.5147186... [\Omega] \tag{5.5} \end{eqnarray} となり、Gは、 \begin{eqnarray} G_2 &=& \frac{1}{3} \times \frac{2^{1/2}-2^{-1/2}}{2} = \frac{1}{6\sqrt{2}} \ \ \mathrm{[S]} \\ r &=& \frac{1}{G_2} = 6\sqrt{2} \\ &= & 8.485281... [\Omega] \tag{5.6} \end{eqnarray} という値となります。結果としては、おおむねRが半分の抵抗に、Gは2倍の抵抗になることがことがわかります。(Gのコンダクタンスで考えればRと同じく約半分になる。)

T-type Circuit division2
fig5.3 同一特性のまま2分割されたT型回路の定数計算結果

RとGはそれぞれピッタリ半分にはなりませんが、それに近い値となるという事実は、今後のさらなる分割を考慮するときの重要な性質といえます。

T型回路の分割数を増やす

さらに、同一特性を保つように多数のT型回路に分割した場合を考えていきます。分割数をnとおき、分割後のRとGをそれぞれRnとGnと表せば、式(5.1)及び式(5.2)を流用することで、 \begin{eqnarray} R_n &=& Z_k \tanh \frac{\theta_k}{2n} \tag{5.7} \\ G_n &=& \frac{\sinh \theta_k / n}{Z_k} \tag{5.8} \end{eqnarray} として計算することができます。

ここで、幾つかのnの値で実際に数値計算してみると、以下のような抵抗値になります。

T型回路のn段分割
段数n R r G=r/1
1 250mS
2 514.7mΩ 8.485Ω 117.9mS
4 259.3mΩ 17.23Ω 58.05mS
8 129.9mΩ 34.58Ω 28.92mS
10 103.9mΩ 43.25Ω 23.12mS
100 10.40mΩ 432.8Ω 2.311mS
1000 1.040mΩ 4.328kΩ 231.0μS
10000 104.0uΩ 43.28kΩ 23.10μS

以上の数値計算結果をみると、分割数nが大きくなるにつれて、ある係数に収束していくことが推測されます(一定値に収束するのは値ではなく、あくまで係数です)。T型回路を分割していくほど、そのRは小さく(rは大きく)なっていくわけですが、その係数については、1040や4328といったある一定の値を示すのです。

これはtanhやsinhの引数が、きわめて小さくなることによって生じる現象であり、級数展開式を考えれば納得ができます。Bnをベルヌーイ数として、 \begin{eqnarray} \tanh x & = & \sum^{\infty}_{n=1} (-1)^{n-1} \frac{2^{2n}B_n x^{2n-1}}{(2n)!} \\ & = & x - \frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315} \cdots \tag{5.9} \end{eqnarray} が正確なべき級数展開式ですが、xが「十分に小さい」とすれば \[ \tanh x \simeq x \] と簡単な形に近似することができます。よって、分割数nが大きい場合のRnは、 \[ R_n \simeq Z_k \frac{\theta_k}{2n} \tag{5.10} \] という近似が可能です。

実際に、例示の回路を計算してみると、 \[ R_n = 3 \times \frac{\ln 2}{2n} = \frac{1.039720771 \cdots}{n} \simeq \frac{1.04}{n} \ [\Omega] \] となり、表の数値と一致します。

またsinhも同様に、べき級数から考えると \begin{eqnarray} \sinh x & = & \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ & = & x + \frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} \cdots \tag{5.11} \end{eqnarray} であるので、結局のところ、極めて小さいxに対しては \[ \sinh x \simeq x \] が成立し、分割数nが大きい場合のGnは、式(5.12)で近似できることになります。 \[ G_n \simeq \frac{\theta_k}{n Z_k} \tag{5.12} \] 例示の回路においては、 \begin{eqnarray} G_n &=& \frac{\ln 2}{3n} \\ r_n &=& \frac{1}{G_n} = \frac{3n}{\ln2} = 4.328085123 \cdots \times n \simeq 4.328n \ [\Omega] \end{eqnarray} の結果が得られ、こちらも表の数値と一致します。ただし、近似ですので、分割数nを十分に大きくする必要があります。

近似による計算誤差は、前提とする回路条件によって変わってきますが、例示の回路の場合、4分割で1%以下、100分割で6桁以下の計算誤差になります。

次ページへ続く