05.Ｔ型回路の無限分割(1)

前ページで、無限ラダー回路の要素（T型回路）の諸特性を計算してみました

Fパラメータによる計算の利点は、同じ回路を繋ぎ合わせるときの計算が簡単であることに尽きます。そこで、同一特性を保ったまま回路を２個に分割するとどうなるのか考えてみましょう。

無限に細かく分割していく分布定数回路の最初の一歩です。

まず、T型回路の抵抗RとコンダクタンスGは、伝送量 \(\theta_k\) 及び 反復インピーダンス \(Z_k\) を用いて、

と表現することができます。ここで tanh(x) は双曲線関数（ハイパボリックタンジェント）であって、 \[ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \tag{5.3} \] で定義される関数です。 sinh 関数は前ページを参照のこと。

このとき、2つの回路の伝送量 \(\theta_k\) は、2つの回路それぞれの伝送量の和となります。

この関係を利用すると、ちょうど２分割されたときの抵抗R₂とコンダクタンスＧ₂は、以下のような式で計算することができます。 \begin{eqnarray} R_2 &=& Z_k \tanh \frac{\theta_k}{4} \tag{5.3} \\ G_2 &=& \frac{\sinh \theta_k / 2}{Z_k} \tag{5.4} \end{eqnarray}

ここで、前ページで扱っていた実例(R=2,G=1/4)を計算してみましょう。先の回路ではちょうど電圧・電流が半分になるという性質から \( \theta_k = \ln 2 \) の関係式がありました。 \( e^{\theta_k} = 2 \) から、 R は となり、G は、 という値となります。結果としては、おおむね R が半分の抵抗に、 G は2倍の抵抗になることがことがわかります。（ コンダクタンスで考えれば G も R と同じく約半分になる。)

R と G はそれぞれピッタリ半分にはなりませんが、それに近い値となるという事実は、今後のさらなる分割を考慮するときの重要な性質といえます。

さらに、同一特性を保つように多数のT型回路に分割した場合を考えていきます。分割数をnとおき、分割後のRとGをそれぞれ \(R_n\) と \(G_n\) で表せば、式(5.1)及び式(5.2)を流用することで、 \begin{eqnarray} R_n &=& Z_k \tanh \frac{\theta_k}{2n} \tag{5.7} \\ G_n &=& \frac{\sinh (\theta_k / n)}{Z_k} \tag{5.8} \end{eqnarray} として計算することができます。

ここで、幾つかのnの値で実際に数値計算してみると、以下のような抵抗値になります。

T型回路のn段分割

段数n	R	r	G=r/1
1	1Ω	4Ω	250mS
2	514.7mΩ	8.485Ω	117.9mS
4	259.3mΩ	17.23Ω	58.05mS
8	129.9mΩ	34.58Ω	28.92mS
10	103.9mΩ	43.25Ω	23.12mS
100	10.40mΩ	432.8Ω	2.311mS
1000	1.040mΩ	4.328kΩ	231.0μS
10000	104.0uΩ	43.28kΩ	23.10μS

以上の数値計算結果をみると、分割数nが大きくなるにつれて、ある係数に収束していくことが推測されます（一定値に収束するのは値ではなく、あくまで係数です）。 T型回路を分割していくほど、そのRは小さく(rは大きく)なっていくわけですが、その係数については、 1040 や 4328 といったある一定の値を示すのです。

これは双曲線関数 tanh や sinh の引数が、きわめて小さくなることによって生じる現象であり、 べき級数展開式を考えれば納得ができます。 \(B_n\) をベルヌーイ数として、 \begin{eqnarray} \tanh x & = & \sum^{\infty}_{n=1} (-1)^{n-1} \frac{2^{2n}B_n x^{2n-1}}{(2n)!} \\ & = & x - \frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315} \cdots \tag{5.9} \end{eqnarray} が正確なべき級数展開式ですが、 \(x\) が「十分に小さい」とすれば \[ \tanh x \simeq x \] と簡単な形に近似することができます。よって、分割数 n が大きい場合の \(R_n\) は、 \[ R_n \simeq Z_k \frac{\theta_k}{2n} \tag{5.10} \] という近似が可能です。

実際に、例示の回路を計算してみると、 となり、表の数値と一致します。

また \(\sinh\) も同様に、べき級数から考えると \begin{eqnarray} \sinh x & = & \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ & = & x + \frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} \cdots \tag{5.11} \end{eqnarray} であるので、結局のところ、極めて小さい \(x\) に対しては \[ \sinh x \simeq x \] が成立し、分割数 n が大きい場合の \(G_n\) は、式(5.12)で近似できることになります。 \[ G_n \simeq \frac{\theta_k}{n Z_k} \tag{5.12} \] 例示の回路においては、 \begin{eqnarray} G_n &=& \frac{\ln 2}{3n} \\ r_n &=& \frac{1}{G_n} = \frac{3n}{\ln2} \simeq 4.328n \ [\Omega] \end{eqnarray} の結果が得られ、こちらも表の数値と一致します。ただし、近似ですので、分割数nを十分に大きくする必要があります。

近似による計算誤差は、前提とする回路条件によって変わってきますが、例示の回路の場合、4分割で1%以下、100分割で6桁以下の計算誤差になります。