T型回路のFパラ,反復インピーダンス及び伝送量

無限ラダーの要素としてのT型回路

前ページで、無限ラダー回路の重要な要素はT型回路であることが示唆されました。

T-type Circuit
fig4.1 T型抵抗回路

図4.1は、抵抗減衰器(Attenuator)としてよく知られている回路で、その性質や設計法に至るまで、よく研究された回路の一つです。

本回路は左右が対称であることから、「対称2端子対網」と呼ばれ、比較的容易にその諸性質が割り出せる回路となっています。ここからは、その詳しい性質を調べていきましょう。

T型回路のFパラメータ(縦続行列)

T-type Circuit2
fig4.2 T型抵抗回路の電圧電流

fig4.2は一般的な表現の対称T型回路です。これまでと異なるのは、回路に並列に入ってるGの要素を抵抗ではなく、その逆数であるコンダクタンスで表現していることです。まずはこの回路のF行列と呼ばれる定数を求めていきます。この定数は別名がたくさんある定数です。

日本ではFパラメータ(Fundamental: 基礎定数)や「四端子定数」または縦続行列(cascade parameter)と呼ばれることが多いもので、他にはchain-parameter(チェーン)やドイツ語のチェーンに由来する「K行列」(Kettenmatrix)、あるいは伝送線路パラメータ(Transmission Line parameter)、最近の英語圏ではABCD-parameterなどと、様々な呼称が存在します。

このパラメータは、回路網を数珠つなぎに接続したときに、総合的な特性を求めやすい表現であり、過去には非常に重視された回路網定数であったためなのか、様々な名称が乱立してしまったようです。

さて、ここではFパラメータ(F行列)という名称を選択しておきましょう。このパラメータの定義は、 \[ \left( \begin{array}{c} V_1 \\ I_1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} V_2 \\ -I_2 \end{array} \right) \tag{4.1} \] となります。(ただし、符号の向きなどが異なる別の定義あり。)あるいは、連立方程式で表して、 \begin{eqnarray} V_1 &=& A V_2 -B I_2 \\ I_1 &=& C V_2 -D I_2 \tag{4.2} \end{eqnarray} でも構いません。

そして、途中を端折ってfig4.2のFパラ結果だけを出せば、 \begin{eqnarray} A &=& RG+1 \\ B &=& R^2G+2R \\ C &=& G \\ D &=& A \tag{4.3} \end{eqnarray} となります。(なお、左右対称の回路の場合、必ずA=Dとなる。)これらの値を使えば、回路の諸性質…インピーダンスや、電圧電流の減衰比率(伝送量)を容易に求められます。

もし、fig4.1の回路定数であれば、R=1[Ω] G=1/4 [S] として、 \begin{eqnarray} A =D &=& \frac{5}{4} \\ B &=& \frac{9}{4} \\ C &=& \frac{1}{4} \end{eqnarray} という値になります。なお、AとDの無単位の量であり、Bは抵抗の単位、Cはコンダクタンスの物理単位を持ちます。

T型回路の反復インピーダンス

Fパラメータが求められたので、重要な量の一つである、反復インピーダンス(iterative impedance)を求めてみます。

この反復インピーダンスというのは、無限に回路をつなげていった時の入力抵抗(インピーダンス)のことです。つまり、無限ラダー回路で求めた合成抵抗値の正式名称です。

「反復」というのは「繰り返し」の意味合いが強く、無限に接続した回路なので、どの点から見ても同じインピーダンスに見える=繰り返されている、ことを言いたいのです。

iterative impedance
Fig4.3 反復インピーダンス(Iterative Impedance)

Fig4.2は対称2端子対回路なので、左右方向の反復インピーダンスが一致し、値は簡単に求まります。その反復インピーダンスをZkとおけば、 \[ Z_k = \sqrt{\frac{B}{C}} = \sqrt{R^2 + \frac{2R}{G}} \tag{4.4} \] で表せます。実際にFig4.1の定数(R=1,G=1/4)で計算してみると、 \[ Z_k = \sqrt{1^2 + \frac{2 \times 1}{1/4} } = \sqrt{9} = 3 \Omega \] となって、先に計算した“T型回路が無限に縦続接続された回路の合成抵抗値”と一致することが確認できます。

T型回路の伝送量(減衰度)

次に計算するのは、各段の減衰量です。入力電圧及び入力電流が、どの程度減衰して出力されるかといった量です。

実際、Fig4.1の回路は、1段ごとに電圧と電流はちょうど1/2へ減少します。

この減衰量のことを回路理論上は「伝送量」と表現することが多く(増幅などもあるため)、指数関数を用いて \[ \frac{V_2}{V_1} = e^{-\theta_k} \tag{4.5a} \] または、 \[ \ln \frac{V_1}{V_2} = \theta_k \tag{4.5b} \] のように定義されており、特にθkを「伝送量」と称しています。

なお、当然のことながら電流についても伝送量が定義されるのですが、反復インピーダンスの前提があるため、電圧と電流の比率は常に一定となっています。ですから電圧の伝送量と一致することになり、あらためて電流の伝送量を考慮する必要はありません。

Fパラメータによって伝送量を求めるには、双曲線関数(ハイパボリックsin等)を使用します。 \[ \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \tag{4.6} \] \begin{eqnarray} \sinh \theta_k &=& \sqrt{A^2-1} = \sqrt{BC} \tag{4.7} \\ &=& \sqrt{R^2 G^2 + 2 RG } \tag{4.8} \end{eqnarray} このままでは、θkを求められないので、逆関数を使って、 \begin{eqnarray} x&=&\sqrt{R^2 G^2 + 2 RG } \\ \theta_k &=& \sinh^{-1} x = \ln \left(x+\sqrt{x^2+1} \right) \tag{4.9} \end{eqnarray} とすれば、最終的に \[ \frac{V_1}{V_2} = \sqrt{R^2 G^2 + 2 RG } +\sqrt{R^2 G^2 + 2 RG +1} \tag{4.10} \] という式に帰着します。式(4.10)を見る限りR*Gの量が非常に重要な役割を果たしているようなので、これをaと置いてみましょう、 \[ a = RG \tag{4.11a} \] と定義しておけば、式(4.10)は、 \[ \frac{V_1}{V_2} = \sqrt{a^2 +2a} +\sqrt{a^2+2a+1} \tag{4.11b} \] と、整理することもできます。試しにFig4.1の回路定数を代入してみれば、a=R*G=1/4となるので、 \begin{eqnarray} \frac{V_1}{V_2} &=& \sqrt{\frac{1}{16} +\frac{2}{1} } + \sqrt{\frac{1}{16} +\frac{2}{1} + 1 } \\ &=& \sqrt{\frac{9}{16}} + \sqrt{\frac{25}{16}} \\ &=& \frac{3}{4} + \frac{5}{4} \\ &=& 2 \tag{4.11c} \end{eqnarray} となって、ちょうど電圧、電流が半分になることが再確認できました。

式(4.11c)を伝送量θで表すならば、 \[ \theta_k = \ln 2 \tag{4.11d} \] という事になります。

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