包絡線検波器(ダイオード検波器)の理論解析1

はじめに

本ページでは、一般に包絡線検波器あるいはダイオード検波器と呼ばれる回路動作の理論的な解析を紹介するページです。

ダイオード検波器(包絡線検波器)

図1.ダイオード検波器(包絡線検波器)

この古典的な検波器は、ゲルマラジオ・鉱石ラジオの心臓部であり、その単純さから小学生の教材になるほど簡単な回路です。

しかし、その詳細な動作を「正確に解析し理解する」のは、なかなか難しい回路でもあります。単純な近似理論であってさえも、手計算で入出力を求めることはかなりの労苦を伴います。

市販の電子回路教科書には必ず載っているほど有名な回路なのに、計算の詳細が載るのは稀であるのも、そういう事情があっての事でしょう。載っていても、70年以上前に真空管(2極管)を意図して解析された内容であるので、少し物足りない面もあります。

そこで、検波器の基本的な入出力特性を求めて行こうというのが本ページの趣旨です。

要約

入力RF(Radio Frequency)信号、VRF=Vc cos(ωt)を入力したとき、キャパシタCが十分にRF電流を短絡していると仮定すれば、出力直流電圧Voは、以下の式を満足する値として定まる。

V_T  \ln \left[ \mathrm{I_0} \left(\frac{V_c}{V_T} \right) \right] -V_T \ln \left( 1 + \frac{V_o}{I_s \cdot R} \right) -V_o=0

式1.検波入出力特性式(厳密解)

ここで、各変数と関数は以下の通りです

Vc:入力RF振幅電圧[V]
Vo:出力直流電圧[V]
VT:ダイオードの熱電圧[V]
Is:ダイオードの逆方向飽和電流[A]
R:負荷抵抗[Ω]
ln:自然対数
I0:第1種0次変形ベッセル関数

また、式中にある第1種0次変形ベッセル関数は特殊関数の一種で、積分表示や無限級数表示式は以下の通りです。(J0(x)は第1種0次ベッセル関数、jは虚数単位。)

I_0(x) = J_0 (jx) =\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} e^{x \cos \theta} d \theta = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x^2/4)^{k}}{(k!)^2}

式1は、簡単な手計算では求められない非線形の式であるため、Newton法などの数値シミュレーション技法で何とかします。

要するに、とんでもなく面倒で複雑です。

大まかな特性の把握

最初から数式だけだとアレなので、大雑把に検波器の入出力特性を考えていきます。

まず、式1の複雑な数式を言葉で書き直してみると、
    直流起電力 − ダイオードの電圧降下 = 出力電圧
という簡単な式であったりします。

直流起電力(無負荷出力電圧)

ダイオードに高周波電流が流れると、その非線形特性によってさまざまな周波数の起電力が発生します。その一つが直流成分です。

重要なことは、ダイオードの種類とほぼ無関係に、直流起電力が定まることです。そのほとんどはRF入力電圧のみで決まると見てよいでしょう。

V_T  \ln \left[ \mathrm{I_0} \left(\frac{V_c}{V_T} \right) \right]

式2.直流起電力

この式には、入力RF電圧のVcと、熱電圧Vの2つの変数しかありません。

熱電圧は室温(27℃)で26mV程度となり、現実のダイオードであっても、25mVから35mV程度の間におさまる値ですから、ほとんど入力電圧だけで起電力が決まってしまうのです。

この起電力の値は、入力RF振幅が小さくなると急激に減少する特性があり、検波効率が極端に悪化します。
 入力1V → 出力 930mV (93%)
 入力100mV → 出力 60mV (60%)
 入力10 mV → 出力 1mV (10%)

ダイオードの電圧降下

ダイオードや鉱石の種類によって感度が違うという最大の原因がこれです。

起電力は変わらずとも、ダイオードを取り替えると感度が良くなったり悪くなったりするのは、この電圧降下の大小が違うからです。

この電圧降下は、ダイオードに流れる直流電流Idc=Vo/Rによるものです。

V_T \ln \left( 1 + \frac{V_o}{I_s \cdot R} \right) = V_T \ln \left( 1 + \frac{I_{dc}}{I_s} \right)

式3.ダイオードの電圧降下

個々のダイオードは、式3中の Is→逆方向飽和電流が非常に広範囲にバラつきます。何%というレベルではなく、10桁ぐらいに。

シリコンダイオードで、fAからnA(フェムト〜ナノアンペア)程度。ゲルマニウムダイオード、鉱石、あるいはショットーバリアダイオードにおいては、nAからμA(ナノ〜マイクロアンペア)程度となります。

Isが大きいダイオードほど、電圧降下が小さく高感度になります。

1V以上の強い信号入力があれば、その差も無視できるのですが、微弱信号を相手に戦う鉱石ラジオでは、感度に大きな差が出てしまいます。

なお、この値は温度の影響を非常に受けやすいことが知られており、ダイオードを熱するとIsも上昇します。ダイオードを炎で炙り、高感度にした事例も存在します。(正確には絶対温度の3乗に比例してIsも増加する。)

直流の等価回路

以上の2つの式を回路図で表現したのが、図2です。

ダイオード検波器の直流等価回路

図2.ダイオード検波器の直流等価回路

非常にシンプルな等価回路です。しかし、このダイオード・抵抗直列回路は、その単純さとは裏腹に、複雑な計算の繰り返しを要求される手ごわい回路!

この単純で厄介な非線形回路のせいで、簡単に答えが求まらず、シミュレーションに頼ることとなります。まぁSPICEを用意しなくても、ExcelやLibre office Calcがあれば、何セルかの計算で求められますけど・・・

ダイオード起電力の特性

検波器にRF電圧を入力したとき、最大の出力電圧Vo(max)が得られるのは、図3のような無負荷のとき、すなわち抵抗器Rを接続しない時です。

もっとも、この回路は原理的にAMの復調性能が無く、静的な信号検出にしか使えないため、ゲルマ/鉱石ラジオ用にはあまりお薦めできません。特に高性能なダイオードを使用すると、ダイアゴナルクリッピング歪ネガティブピーククリッピング歪が発生し、聞くに耐えない音質になる場合もあります。

無負荷ダイオード検波器

図3.無負荷状態のダイオード検波器

本回路の出力電圧は、入力RF電圧Vcと熱電圧VTのみによって決まり、以下のような式となります。

V_o(V_c,V_T) = V_T  \ln \left[ \mathrm{I_0} \left(\frac{V_c}{V_T} \right) \right]

式4.無負荷ダイオード検波器の出力電圧

では、この回路の入出力特性が、ダイオードの熱電圧VTにどの程度の影響を与えるか調べるため、25、30、35mVの3つの値をグラフに描いたものが図4です。

無負荷ダイオード検波器入出力特性

図4.無負荷検波器の入出力特性

これを見ると、熱電圧VTの違いは無視できそうです。もっとも、VTが小さいほど、出力電圧は大きくなるのも確かです。以後は、熱電圧VTを26mV一定として解析していきます。

小信号入力時の近似

RF信号が小さいときは2乗特性が現れます。特に26mVを下回ると明確な2乗特性となり、34mVの入力までなら誤差10%以内で計算することができます。(2乗特性近似)

V_o \simeq \frac{V_c^2}{4V_T} \ \ \  (V_c < V_T)

より正確に小信号の出力を計算したいのであれば、以下の補正式を使用すれば52mV以下の入力で誤差を1.3%以内に抑えられます。本式は、理論的な補正式を導出した後に、さらに数値シミュレーションにて微調整したものです。(2乗特性補正近似)

V_o \approx \frac{V_c^2}{4V_T} \left(1 - \frac{V_c^2}{21.5 V_T^2} \right)\ \ \  (V_c \leq 2V_T) ,\ |\epsilon| \leq 1.3\%

図5は、小信号領域での特性図です。

無負荷検波器特性(小信号)

図5.小信号入力時の無負荷検波器特性

大信号入力時の近似

大信号を入力した時には直線検波特性が現れます。具体的には、300mV以上の入力であれば、ほぼ入力に直接比例した出力が得られます。また、1V以上あれば完全に直線と見なしてよいでしょう。

入力RF信号が十分大きいとき、具体的には52mVを超える場合には、次式で出力を表すことができます。(漸近展開1次近似)

V_o \simeq V_c -0.92 V_T - \frac{1}{2} \ln \left( \frac{V_c}{V_T}\right)

上の式は、入力が大きいと仮定して解いた近似式のため、小入力のときには誤差が大きく、52mVの入力では-11%の誤差があります。130mV以上で誤差1%以下におさまります。

もし、より精度が欲しい場合には次式を使うことで近似度が上がります。52mV入力で-3.4%、74mV以上で-1%以下です。(漸近展開2次近似)

V_o \simeq V_c -0.92 V_T - \frac{1}{2} \ln \left( \frac{V_c}{V_T}\right) + \frac{V_T^2}{8 V_c} \\  (V_c \geq 2 V_T) , \ |\epsilon| < 3.4 \%

いずれの式を用いても、300mV以上の入力があれば誤差は0.2%を十分に下回るので、一般測定器以上の精度で計算ができると思います。

無負荷検波器特性(大信号)

図6.大信号入力時の無負荷検波器特性

図6の最も上の直線が入力電圧振幅です。これを見ると、入力のVcが、ほとんどそのままVoとなり、検波効率が100%に近づいていることが見て取れます。

検波効率

無負荷の状態、すなわち最大の出力電圧が得られるときの検波効率=Vo/Vcを計算したのが図7です。

無負荷検波器効率

図7.大信号入力時の無負荷検波器特性

ある程度のRF入力があれば、100%に近い検波効率が得られますが、小信号だと急激に悪化するのがよくわかると思います。

本来は、小信号ほど検波効率を上げて感度を高めたいのですが、ゲルマ/鉱石ラジオが本来持っている特性は、小信号ほど余計に感度が悪化するという結論です。

すなわち、高感度を目指すには、RF電流ではなくRF電圧を重視しなければならず、同じRFパワーならば、同調回路を使って最大限に昇圧を掛ける必要があるのです。

(参考)Excel/Calcでの起電力計算

Microsoft ExcelやLibre Office Calcでは、組み込み関数として、変形ベッセル関数まで用意されているので、1セルでダイオード起電力を計算することができます。

Excelでの無負荷検波器出力計算

図8.Excelを使ったダイオード起電力計算

計算式は、=0.026*LN(BESSELI(入力電圧/0.026,0))の1行で計算できます。ExcelやCalcにおいては、変形ベッセル関数とは言わず、なぜか「修正ベッセル関数」と呼んでいて、0次の計算をするためには、=BESSELI(x,0)とします(xは変数)。Excel2003まではエンジニアリング関数の組み込みが必要ですが、Excel2007以降はデフォルトでも関数が使用できます。

なお、Libre Office Calcでの計算方法も全く同じです。それと少なくともExcelでは6桁程度の精度のようです。

(続き)包絡線検波器の理論解析2